1-3. 응용 확률 미적분학(Applied Stochastic Calculus)


금융 자산의 가격은 무작위적이며 시간 의존적이다. 이들은 Stochastic Process이다.

무작위적인 움직임이 이산적(discrete)이면 Random Walk라고 하고, 연속적(continuous)이면 Diffusion Process라고 한다.

우리는 금융 자산 가격은 연속적이라 가정하고, 각 개별적인 random path는 realization이라 부르기로 한다. 


1-3-1. 브라운 운동(Brownian Motion)


브라운 운동은 단순한 대칭 랜덤 워크를 확장하여 도출해 낼 수 있다.

동전 던지는 게임을 생각해 보자.

Ri를 앞면이 나오면 +(t/n)1/2, 뒷면이 나오면 -(t/n)1/2의 값을 갖는 랜덤 변수로 정의한다.

그리고 n번째 게임까지 누적 점수를 표시하는 Wn라는 변수를 정의한다. Wn = R1 + R2 + ... + Rn

t의 시간동안 동전을 n번 던지며, 던지는 시간 간격은 t/n 이다.


먼저, Wt의 평균은 E[Wt] = E[R1 + R2 + ... + Rn]

E[Ri] = (+(t/n)1/2) x 0.5 + (-(t/n)1/2) x 0.5 = 0 이므로 E[Wt] = 0 이다.

그리고 Wt의 분산은 V[Wt] = E[Wt2] - E2[Wt] = n x [±(t/n)1/2]2 - 0 = t


이제 여기서 n ㅡ> ∞ 로 가면, 평균과 분산은 각각 0, t로 일정하고, 던지는 시간 간격 t/n ㅡ> 0 으로 수렴한다.

즉, 브라운 운동은 시간 간격이 0에 무한히 근접하는, 평균이 0이고 분산이 t인 동전 던지기 게임의 누적 점수와도 같다.

이 Wt이 Wiener Process 이며, Bt, Xt로도 표기한다.


Wiener Process의 특성에는 다음이 있다.

  • W(0) = 0

  • 연속성 - W(t)의 path는 연속적이다. 그러나 어느 곳에서도 미분불가능이다.

  • 각각 t > 0 과 s > 0에 대해, W(t) - W(s) 는 평균 0과 분산 | t - s |인 정규 분포를 따른다. 즉 dWt ~ N(0, dt). 그 pdf는 아래와 같다. 

1-3.jpg
  • W(t + s) - W(t)는 W(t)와 독립이다.

위의 특성을 가지는 프로세스를 Wiener Process 혹은 Standard Brownian Motion 라고 한다. (더 일반화된 Brownian Motion도 존재)
그 외의 특성으로는, Covariance Function는 E[WtWs] = min {t, s} 이다.
또한 브라운 운동은 마틴게일(Martingale)이다. 마틴게일에 대해서는 이후 장에서 자세히 다루도록 한다. 간단히 말하면 현재값이 미래의 best forecast와 같다는 것이다.
그리고 브라운 운동은 마르코프(Markov) 프로세스이기도 하다. 간단히 말하면, 과거 history가 현재값에 모두 적용되어 있다는 것이다. Memoryless과 같은 의미로 쓰인다.

마지막으로, 앞으로 이 W항이 들어간 stochastic differential equation들을 미적분하기 위해서는 다음 사항이 필요하다.
(dW)2 = dt
이 값을 도출하는 방법은, 평균 제곱 수렴(Mean Square Convergence)을 이용하는 방법이 있다. 
1-31.jpg

여기서 tj = jt/n = jΔt 이다. 

전체 제곱을 확장한 후, W(tj) - W(tj-1)이 평균 0과 분산 t/n의 정규 분포를 따르는 것을 이용한다.

그러면 E[ ]값이 2t2/n 로, n이 무한히 커질수록 0에 수렴한다. 

따라서 Δt 값이 작아질수록 (W(tj) - W(tj-1))2 = t 에 수렴함을 알 수 있고, (dW)2 = dt 이 성립한다. 

전체 제곱을 확장하여 정리하는 과정이 매우 복잡한데, 그냥 (dW)2 = dt 이라고 외우면 충분할 것으로 생각된다.



1-3-2. 브라운 운동의 수치 설계

컴퓨터에서 브라운 운동을 설계하려면 다음과 같이 한다.
시작: t0, W0 = 0; define Δt = T/n
Loop i = 1, 2, ... , n;
ti = ti-1 + Δt
draw φ = N(0, 1)
Wi = Wi-1φ(Δt)1/2


1-3-3. 이토의 보조정리

Wiener Process의 함수 F에 대하여 테일러 급수 전개를 해 보자.
1-32.jpg

여기서 dW3이상의 항은 dt보다 작기 때문에 생략한다. 여기서 F(W + dW) - F(W) = dF 이므로,

1-33.jpg

위의 식에서, dW2 = dt를 적용하면 SDE를 얻을 수 있다.


그러면 예를 들어, F = W2 일 경우, 

dF/dW = 2W 이고 d2F/dW2 = 2이므로, dF = dt + 2WdW임을 알 수 있다.


2변수 함수 f(t, W(t))의 경우는 어떨까? 

1-34.jpg

위와 같이 테일러 급수 전개를 하고, dW3혹은 dt2 이상의 항을 소멸시키면,

1-35.jpg <식1>

다음의 SDE를 얻을 수 있다. 


위의 <식1>에서 df와 dt항들을 우변에, dW항을 좌변에 놓고 양변을 (0, t)에 적분하면,

1-36.jpg <식2>

위의 적분식을 얻을 수 있다. <식2>는 여러 모로 유용하다.



1-3-4. 이토 적분


일반적인 리만 적분의 경우, a와 b 사이를 N 구간으로 나눈 후, 

a= x0 < x1 < x2 < ... < xN-1 < xN = b 로 각 구간의 끝점을 정의했을 때,

xi = a + idx 를 도출 할 수 있고, (0, T) 사이의 적분은

1-37.jpg

1-38.jpg

1-39.jpg

1-40.jpg

위의 네 가지 방식 어느 것을 써도 무방하다.

하지만, 이토 적분의 경우, f(ti+1)항의 값은 f(ti) 시점에서 알려지지 않았다는 것에 문제가 있다. 따라서,

1-41.jpg <식3>

이토 적분에서는 <식3>만을 사용할 수 있다. 이것이 이토의 적분식이다.



1-3-5. 확산 과정(Diffusion Process)


dG(t) = A(G, t)dt + B(G, t)dW(t) <식4>

위의 식을 만족하는 G를 확산 과정(Diffusion Process)라고 한다.

이 식은 결정론적인 파트 A(G, t)dt와 무작위 파트 B(G, t)dW로 이루어져 있다.

이 확산 과정은 다음과 같은 특성을 갖고 있다.

  • A = 0, B = 1은 식을 다시 브라운 운동으로 돌려 보낸다.

  • A와 B가 t와 독립이면 시간-동차(time-homogeneous)라고 한다.

  • dG2 = B2dt 이다.

세번째 특성은 단순히 dG(t)를 제곱하여 전개하면, dt2, dtdW, dW2의 세 항으로 나뉘는데, 처음 두 항은 dtk 꼴에서 k>1 이므로 생략 가능하다.


<식4>는 프로세스 G의 SDE라고 하거나, dG의 랜덤 워크라고 한다.

<식4>의 양변을 (0,t) 구간에 적분하면 아래의 식을 얻을 수 있다.

1-42.jpg



1-3-6. 기하학적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)


브라운 운동은 음의 값을 가질 수도 있기 때문에 주식과 같은 상품의 모델링에는 적합하지 않다. 대신,

1-43.jpg

위와 같은 형식으로, %단위인 μ와 σ를 사용해 drift는 μG이고 diffusion은 σG인 프로세스를 Geometric Brownian Motion이라고 한다.

금융 공학에서 매우 인기 있는 GBM 모델은 주식 S(t)에 대한 아래의 GBM 모델이다.

1-44.jpg

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