1-7. 확률 미적분학(Stochastic Calculus)과 확률(Probability)


1-7-1. 확률 공간(Probabilistic Space)


(Ω, F, P)에서 Ω는 sample space, F는 filtration, P는 probability measure로 확률 공간(probabilistic space)을 정의한다. 

이 확률 공간은 브라운 운동, 이토 미적분, 확률 미분 방정식의 구조를 제공한다.

Event는 어떠한 experiment의 결과를 말하고, sample space는 가능한 모든 이벤트의 집합, sample path는 개별 결과 path를 말한다.

Stochastic process S(t)는 time t로 인덱스된 랜덤 변수 시퀀스이다. 따라서 S(t)는 개별 이벤트 ω와 시간 t의 함수이다.


시간의 흐름과 함께 축적되는 정보를 표기하기 위한 것이 Filtration F이다. F의 특성은 다음과 같다.

  1. A ⊂ F ㅡ> Ac ⊂ F

  2. Ai ⊂ F ㅡ> i=(1,∞) Ai ⊂ F

  3. 1로 의해 Ω ⊂ F

  4. 1, 3에 의해 ∮ ⊂ F

  5. 1, 2에 의해 ∩i=(1,∞) Ai ⊂ F

  6. 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T 에 대해, Ft1 ⊆ Ft2 ⊆ FT ≡ F

시간의 흐름과 함께 정보는 축적되고 filtration은 증가한다.
Stochastic process S는 정보 세트 F하에 t시점의 S값이 known이면 Ft-adapted라고 한다. (혹은 measurable with respect to Ft)

P(실제 표기는 굵은 P)는 probability measure로, 각 이벤트에 확률을 배정하는 함수이다.

01.jpg <식1>

p가 PDF과 P가 CDF면 위의 <식1>이 성립한다.

Indicator function 1x∈A는 x∈A면 1이고 그 외에는 0을 리턴하는 함수이고, 따라서

02.jpg

위의 식이 성립한다.



1-7-2. 조건부/무조건부 기대값(Conditional and Unconditional Expectation)


E[X|F]는 filtration F 하의 X 기대값을 말한다. Y = E[X|F]는 일반적으로 랜덤 변수이며, 이는 F-adapted다.
조건부 기대값의 특성으로는 아래가 있다.

1. 조건부 기대값은 linearity를 만족한다.

03.jpg

2. 조건부 기대값은 tower property를 만족한다.

04.jpg

여러 레벨의 정보로 반복된 condition이 부여되면, 가장 작은 정보 셋을 적용한다.

3. No filtration은 항상 가장 작은 정보 셋이므로, E[E[X|F] = E[X] 이다.

4. 만일 X가 F-measurable이면, F를 알면 X값을 안다. 따라서, E[X|F] = X이다.

5. 만일 X는 F-measurable인데 Y가 아니면, E[XY|F] = XE[Y|F] 가 된다.

6. 만일 X가 F와 독립이면, F를 아는 것은 X의 값을 예측하는데 불필요하다. 따라서, E[X|F] = E[X]이다.

7. 만일 X ≥ 0 이면, E[X|F] ≥ 0 이다.

8. f가 convex fuction이면, f(E[X|F]) ≤ E[f(X)|F] 이다. (Jensen's Inequality)



1-7-3. Probability Measure의 변환과 Radon Nikodym Theorem


이전의 이항 모델의 risk-neutral p`와 real/physical p처럼, probability measure는 한개가 아니다. 


만일 P와 Q가 똑같은 sample space Ω를 쉐어하고, 모든 subset A에 대해 P(A) = 0이면 Q(A) = 0을 만족하면, 

Q는 P에 대해 absolutely continuous하다고 하며, Q < < P 라고 표기한다. 

즉, 가능한 일의 확률은 바꿀 수 있어도 불가능을 가능으로 변환하지는 못한다.

만일 P < < Q이고, Q < < P 이면 두 measure들은 equivalent하다고 하며, P ~ Q로 표기한다.


P~Q이면, 모든 A ⊂ Ω 에 대해,

05.jpg

위 식을 만족하는 랜덤 변수 Λ가 존재하며,

06.jpg

이를 Radon-Nikodym derivative라 한다. 이산적(discrete) 분포의 경우, 간단히

07.jpg

08.jpg

위와 같이 된다.

이렇게 change of measure를 하는 이유는 어려운 문제들을 쉽게 풀기 위해서다.



1-7-4. 추가적인 이토 미적분학

1-7-4-1. n차원 이토 미적분

1-4-1에서는 한 개의 기초자산 S에 대한 파생상품 V에 대한 SDE를 전개하였다.
이번에는 S1, S2 두 개의 stochastic process 에 의해 가격이 결정되는 V에 대한 이토 방정식을 알아보자.
09.jpg


위와 같이 2 차원 이토 방정식과 n 차원 이토 방정식을 도출할 수 있다. 

그리고 n 차원 이토 방정식의 적분은 단순히 양변을 적분하면 된다.


10.jpg


1-7-4-2. 이토 Product Rule


Ito product rule은 두 프로세스 S1(t)와 S2(t)의 곱으로 정의되는 V를 다룬다.

11.jpg


이토 product rule은 일반 미적분의 product rule과 비슷한데,

d(S1 × S2) = [ S1 × dS2 + dS1 × S2 ] + [ dS1 × dS2 ]

좌변의 첫 [ ]항은 일반 미적분 방식과 같고, 두번째 [ ] 항이 cross variation adjustment이다.



1-7-5. Stochastic Calculus 참고 자료


Steven Shreve: Stochastic Calculus for Finance I, II - 매우 명료하고, 금융에서의 stochastic calculus를 모두 커버한다.

Baxter and Rennie: Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing - 주요 테크닉들에 대한 좋은 overview를 제공하고, plain English의 직관적인 설명을 듣기 좋다.

Chin, Nel, Olafsson: Stochastic Calculus, volume 1 of Problems and Solutions in Mathematical Finance - 확률론과 stochastic calculus에 관한 많은 문제와 해답을 제공한다.

Hull: Options, Futures, and Other Derivatives - 역작이며, 대부분의 토픽을 커버하지만 stochastic 파트는 금융 공학보다는 금융학의 관점에서 커버되어 있다.

Oksendal: Stochastic Differential Equations - 이토 프로세스를 manipulate하기 위한 모든 증명과 결과들이 담겨 있다.

Neftci: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives - 괜찮지만 지나치게 개관적이다.



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